Физика футбола

Истинные болельщики наверняка помнят штрафной удар бразильца Роберто Карлоса на турнире во Франции летом 1997 года. Мяч был установлен примерно в 30 м от ворот соперников, ближе к правому краю поля. После удара Карлоса мяч полетел далеко в правую сторону, облетел «стенку» в метре от нее и заставил пригнуть голову подающего мячи мальчика. После этого чудесным образом мяч повернул влево и влетел в верхней правый угол ворот - к изумлению игроков, вратаря и представителей СМИ.

Как объяснить этот трюк с точки зрения физики? Первое объяснение боковому отклонению вращающегося предмета было дано немецким физиком Густавом Магнусом в 1852 году. Магнус вообще-то пытался определить, почему гильзы и пули отклоняются от траектории при вращении. Однако его объяснение в равной степени распространяется и на мячи, поскольку основной механизм искривления траектории футбольного мяча почти такой же, как и у мячей в других видах спорта - бейсболе, гольфе, крикете и теннисе. 

Рассмотрим мяч, который вращается вокруг оси, перпендикулярной потоку воздуха вокруг мяча.Воздух движется быстрее относительно центра мяча, когда внешняя часть мяча движется в том же направлении, что воздушный поток. Это снижает давление в соответствии с принципом Бернулли. На другой стороне происходит противоположный эффект - воздух движется медленнее по отношению к центру. Возникающий дисбаланс сил заставляет мяч отклоняться. Такое боковое отклонение летящего мяча получило название эффекта Магнуса.

На вращающийся в воздухе мяч действуют две силы: подъемная сила и сила сопротивления. Подъемная сила тянет мяч вверх и вбок, что вызывает эффект Магнуса. Сила сопротивления действует против направления движения мяча.

Можно рассчитать силы, действующие во время хорошо выполненного штрафного удара. Предположим, что скорость мяча составляет 25-30 м/с, а скорость вращения - 8-10 об/с. Тогда подъемная сила оказывается равной примерно 3,5 Н. Поскольку согласно правилам ФИФА масса мяча должна быть равной 410-450 г, его ускорение составляет 8 м/с. А так как мяч за секунду пролетит 30 метров, то подъемная сила может заставить его отклониться на целых 4 м от обычной прямой линии – вполне достаточно, чтобы вратарю стало не по себе!

Сила сопротивления FD, действующая на мяч, увеличивается пропорционально квадрату скорости ν, если считать, что плотность мяча r и площадь поперечного сечения A, остаются неизменными: FD = CDrA ν 2 / 2. Однако "коэффициент лобового сопротивления" CD также зависит от скорости движения мяча. Например, если рассмотреть коэффициент сопротивления применительно к числу Рейнольдса (безразмерного параметра, характеризующего собой соотношение инерционных сил и сил внутреннего трения в потоке жидкости или газа), равного rv D / μ, где D - диаметр мяча, а μ - кинематическая вязкость воздуха, то видно, что коэффициент лобового сопротивления резко падает в тот момент, когда поток воздуха на поверхности мяча превращается из ламинарного в турбулентный.Когда поток воздуха находится в ламинарном режиме, а коэффициент лобового сопротивления высок, пограничный слой воздуха на поверхности мяча "отделяется" от нее довольно рано и создает на своем пути завихрения. Однако когда воздушный поток находится в турбулентном режиме, пограничный слой находится у мяча дольше, и это приводит к позднему отделению и невысокому сопротивлению. 

Поэтому число Рейнольдса, при котором коэффициент лобового сопротивления падает, зависит от неровностей на поверхности мяча. Например, мячи для гольфа, которые покрыты углублениями, имеют достаточно высокую шероховатость поверхности и их коэффициент лобового сопротивления падает при относительно низком числе Рейнольдса (~ 2 × 104). Однако поверхность футбольного мяча более гладкая, чем у мяча для гольфа, поэтому критический переход происходит при гораздо большем числе Рейнольдса (~ 4 × 105).В результе медленно летящий футбольный мяч подвергается воздействию относительно высокой силы торможения. Но если ударить по мячу достаточно быстро, чтобы воздушный поток вошел в турбулентный режим, тормозящая сила будет незначительной. Поэтому быстро летящий футбольный мяч представляет двойную неприятность для вратаря. Он не только движется с высокой скоростью, но и не замедляется настолько, насколько можно было бы ожидать. Так что на интуитивном уровне лучшим вратарям приходится понимать в физике гораздо больше, чем кажется на первый взгляд.

В 1976 году Питер Бирман и его коллеги из Имперского колледжа в Лондоне провели серию классических экспериментов с мячами для гольфа. Они обнаружили, что увеличение скорости вращения мяча увеличивает коэффициент подъемной силы а, следовательно, и силу Магнуса. Однако увеличение скорости полета мяча при одинаковой скорости вращения уменьшает коэффициент подъемной силы. Это означает, что на медленно летящий, но быстро вращающийся футбольный мяч будет действовать бóльшая отклоняющая сила, чем на быстро движущийся мяч, вращающийся с такой же скоростью. По мере замедления полета мяча в конце траектории кривая полета становится более ярко выраженной.

Как тогда объяснить штрафной удар Роберто Карлоса? Карлос ударил по мячу внешней стороной левой ноги, чтобы придать мячу вращение против часовой стрелки. Поле было сухим, поэтому скорость вращения оказалась высока, возможно, более 10 оборотов в секунду. Сильный удар внешней стороной ноги позволил придать мячу значительную скорость - свыше 30 м/с. Поток воздуха над поверхностью мяча был турбулентным, что привело к относительно низкому уровню сопротивления. Где-то через 10 м полета (т.е. недалеко от стенки) скорость мяча снизилась настолько, что он перешел в ламинарный поток. Это существенно увеличило силу сопротивления, которая еще больше замедлила полет мяча и, в свою очередь, увеличила боковую силу Магнуса, «загибающую» траекторию мяча в направлении ворот. Если предположить, что вращающий момент уменьшился незначительно, то коэффициент сопротивления должен был возрасти. Это еще больше увеличило боковую силу и вызвало дальнейшее искривление траектории мяча. Наконец, по мере замедления мяча искривление траектории продолжало увеличиваться (возможно, из-за увеличения коэффициента подъемной силы), пока не мяч не попал в заднюю часть сетки - к большому удовольствию физиков в толпе зрителей.

Однако исследователи заинтересованы не только в изучении движения мяча в полете, но и того, как футболист бьет по мячу. Они изучают кинематику удара без учета сторонних сил, а также проводят динамический анализ, принимающий во внимание такие силы. Экспериментальный подход дал отличные результаты, хотя многие проблемы все еще остаются нерешенными. Одной из наиболее острых проблем является сложность измерения физического передвижения людей, отчасти потому, что их движения весьма непредсказуемы. Тем не менее с помощью компьютеров можно проводить достаточно точные измерения параметров движения человека.

Два автора этой статьи и группа исследователей в университете Ямагата в Японии используют компьютеры в сочетании с более традиционными методами динамического моделирования ударов по мячу. Такой подход позволил создать различных "виртуальных" футболистов, от детей младшего возраста до профессионалов. За движениями игроков следила высокоскоростная видеокамера, снимавшая 4500 кадров в секунду, а воздействие ноги на мяч тщательно анализировалось компьютером. Сначала эксперименты показали, то что большинство игроков знает из собственного опыта: если ударить мяч подъемом ноги прямо по линии центра тяжести, мяч полетит строго по прямой. Однако если его ударить носком, сохраняя угол между голенью и ступней в 90 °, мяч полетит по кривой. Поскольку место удара смещено по отношению к центру, примененная сила действует в качестве крутящего момента, который, соответственно, придает мячу вращение.

Результаты экспериментов также показали, что вращение мяча тесно связано с коэффициентом трения между ногой и мячом, а так же с расстоянием от места удара до центра тяжести мяча. Увеличение коэффициента трения между мячом и ногой вызывало увеличение скорости вращения мяча. Кроме того, скорость вращения увеличивалась, если точка удара по мячу удалялась от центра тяжести. Если смещение увеличивалось, нога задерживалась на мяче в течение более короткого времени и на меньшей площади поверхности. В результате как скорость вращения, так и скорость мяча снижались. Это показывает, что для сообщения мячу максимальной скорости вращения существует оптимальное место для удара: если удар приходится слишком близко или слишком далеко от центра тяжести, мяч не приобретет вообще никакого вращения.

Другой интересный эффект заключается в том, что даже при коэффициенте трения, равному нулю, мяч все равно приобретает некоторое вращение, если по нему ударить в стороне от центра тяжести. Хотя в этом случае нет периферийной силы вдоль окружности мяча (поскольку коэффициент трения равен нулю), тем не менее мяч деформируется по направлению к центру, то есть некоторая сила возникает около центра тяжести. Поэтому можно закручивать мяч и во время дождя, хотя скорость вращения тогда будет значительно меньше, чем при сухой погоде.

Конечно, такой анализ содержит ряд ограничений. Воздух вокруг мяча не был принят во внимание, а воздух внутри мяча рассматривался в соответствии с моделью сжатого вязкого потока. В идеале воздух внутри и снаружи мяча должен приниматься во внимание, а вязкость должна рассчитываться с помощью уравнений Навье-Стокса. Кроме того, поверхность ноги рассматривалась как однородная, хотя очевидно, что реальная нога устроена гораздо сложнее. С другой стороны, пусть модель и не была идеальной, все наиболее важные факторы были приняты во внимание.

Какие выводы следуют из удара Роберто Карлоса? Если ударить мяч настолько сильно, что над его поверхностью образуется турбулентность, сила трения останется небольшой и мяч полетит. Если требуется закрутить мяч, ему нужно придать вращение с помощью удара по удаленной от центра точке. Это легче сделать в сухую погоду, но и можно и в дождь. Траектория мяча максимально искривится, когда он замедлится и перейдет в режим ламинарного потока. Поэтому необходимо долго отрабатывать штрафные удары с тем, чтобы этот переход происходит в нужном месте - например, сразу после того, как мяч пролетел «стенку». Если же погода влажная, все равно можно закрутить мяч, но лучше перед этим просушить мяч и бутсы.

Об авторах: Такеши Асал преподает на факультете образования университета г. Ямагата в Японии. Такао Акацука преподает на инженерном факультете того же университета. Стив Хаак является сотрудником Центра спортивной науки университета Шеффилд Халлэм в Великобритании.